# 3. Завдання за варіантами

Робота містить **три завдання**. Кожне виконують за своїм **варіантом**, який
визначає номер студента $N$ у журналі групи.

> **Як визначити варіант.**
> - Для **завдань 1 і 2**: варіант $=\ N \bmod 10 + 1$ (тобто остача від ділення
>   $N$ на $10$, збільшена на одиницю; набуває значень від $1$ до $10$).
> - Для **завдання 3**: варіант $=\ N \bmod 4 + 1$ (значення від $1$ до $4$).
>
> **Приклад.** Нехай номер за журналом $N = 27$. Тоді у завданнях 1 і 2 варіант
> $=\ 27 \bmod 10 + 1 = 7 + 1 = 8$, а в завданні 3 варіант
> $=\ 27 \bmod 4 + 1 = 3 + 1 = 4$. У роботі це обчислення показують явно.

Уся теорія й прийоми, потрібні для виконання, — у [методичних вказівках](2method.md);
там само розібрано демонстраційні приклади на інших даних. **Готових розв'язків і
відповідей у цьому файлі немає** — кожен варіант виконують самостійно.

---

## Завдання 1. Операції над множинами

Визначте результати операцій $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ та
$B \setminus A$ для множин свого варіанта (варіант $=\ N \bmod 10 + 1$). В усіх
варіантах

$$ A = \{1, 3, 5\}, $$

а множину $B$ задано характеристичною властивістю; область — натуральні числа
$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. Запис $x \bmod 2 = 1$ означає «остача від
ділення $x$ на $2$ дорівнює $1$» (тобто $x$ непарне), і аналогічно для інших умов.

| Варіант | Множина $B$ |
|:--:|---|
| 1 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7 \,\}$ |
| 2 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ x \bmod 2 = 1 \,\}$ |
| 3 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ x \bmod 2 = 0 \,\}$ |
| 4 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ x \text{ — просте} \,\}$ |
| 5 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ \sqrt{x} \in \mathbb{N} \,\}$ |
| 6 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ x^{2} < 100 \,\}$ |
| 7 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ x^{2} \bmod 2 = 1 \,\}$ |
| 8 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ x^{2} \bmod 2 = 0 \,\}$ |
| 9 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ \log_{2} x \in \mathbb{N} \,\}$ |
| 10 | $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 7,\ \log_{2} x \in \mathbb{N},\ \log_{2} x \bmod 2 = 1 \,\}$ |

**Що подати.** (1) Множину $B$ свого варіанта у формі **переліку**, показавши, які
кандидати з області проходять умову; (2) чотири шукані множини $A \cup B$,
$A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, кожну переліком у сталому порядку;
(3) короткий коментар, чому $A \setminus B$ і $B \setminus A$ загалом різні.

---

## Завдання 2. Множина-ступінь

Побудуйте **множину-ступінь** $\mathcal{P}(A)$ для множини $A$ свого варіанта
(варіант $=\ N \bmod 10 + 1$).

| Варіант | Множина $A$ |
|:--:|---|
| 1 | $\{5, 6, 7, 8\}$ |
| 2 | $\{a, b, c, d\}$ |
| 3 | $\{\text{table},\ \text{chair},\ \text{oven},\ \text{fridge}\}$ |
| 4 | $\{4, 0, 1, 3\}$ |
| 5 | $\{b, r, y, p\}$ |
| 6 | $\{$ €, £, ¥, ₴ $\}$ |
| 7 | $\{4, 40, 400, 4000\}$ |
| 8 | $\{2, 3, 5, 8\}$ |
| 9 | $\{$ △, □, ◇, ○ $\}$ |
| 10 | $\{$ ♠, ♥, ♦, ♣ $\}$ |

**Що подати.** (1) Усі підмножини $A$, виписані **за розміром** — від
$\varnothing$ до самої $A$ (див. §2.5); (2) потужність $|\mathcal{P}(A)|$ та
перевірку рівністю $|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$; (3) саму множину-ступінь
$\mathcal{P}(A)$ як множину всіх виписаних підмножин.

---

## Завдання 3. Доведення тотожності діаграмами Венна

Доведіть рівність свого варіанта (варіант $=\ N \bmod 4 + 1$) за допомогою
**діаграм Венна** — заштрихувавши область лівої та правої частин на двох
однакових діаграмах і порівнявши їх (метод описано в §2.6). Множини $A$, $B$, $C$
вважайте довільними в спільному універсумі $U$.

| Варіант | Тотожність |
|:--:|---|
| 1 | $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ |
| 2 | $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$ |
| 3 | $A \setminus (A \setminus B) = A \cap B$ |
| 4 | $(A \setminus B) \setminus C = (A \setminus C) \setminus (B \setminus C)$ |

**Що подати.** (1) **Дві** підписані діаграми Венна — окремо для лівої та правої
частин рівності — із чітко заштрихованими областями; (2) послідовність
штрихування «зсередини назовні» (які підвирази штрихувалися першими); (3) висновок
про **збіг** заштрихованих областей і, отже, справедливість тотожності. Для
варіантів 1, 2 і 4 зручна діаграма з **трьох** кіл, для варіанта 3 — із **двох**.

---

## Формат здачі

- Робота — окремий файл (PDF чи DOCX) або охайно оформлений рукопис (скан/фото);
  діаграми Венна можна виконати від руки й вставити зображенням.
- На початку вкажіть **прізвище, групу, номер $N$** та **обчислення номерів
  варіантів** за формулами $N \bmod 10 + 1$ і $N \bmod 4 + 1$.
- Наведіть **усі три** завдання свого варіанта з проміжними кроками, а не лише
  кінцеві відповіді: для завдання 1 — як отримано перелік $B$; для завдання 2 —
  підмножини за розміром і перевірку кількості; для завдання 3 — порядок
  штрихування й підписані області.
- Множини записуйте у **сталому порядку**; перед доповненням (якщо застосовуєте)
  вказуйте універсум $U$.