# 3. Завдання за варіантами

> **Домашня робота за варіантом.** Нижче — умови; **готових відповідей тут немає**.
> Усю потрібну теорію та повністю розв'язаний зразок (на іншому відношенні) наведено
> у [2method.md](2method.md); дійте за схемою з §2.8.

## Визначення варіанта

Номер вашого варіанта обчисліть за формулою
$$
V = N \bmod 5 + 1,
$$
де $N$ — ваш номер за журналом, а $\bmod$ — остача від ділення. Результат — число
від $1$ до $5$.

> **Приклад обчислення (не розв'язання!).** Якщо ваш номер за журналом $N = 12$, то
> $12 \bmod 5 = 2$, тож $V = 2 + 1 = 3$ — ви виконуєте варіант $3$. Якщо $N = 20$, то
> $20 \bmod 5 = 0$ і $V = 1$.

## Ваше відношення

За обчисленим номером $V$ оберіть **одне** відношення. Скрізь пари беруть з множини
$A$: $R \subseteq A \times A$.

| $V$ | Відношення $R = \{(x, y) \mid x, y \in A,\ \dots\}$ |
|:--:|---|
| **1** | $x$ **ділить** $y$ націло |
| **2** | $y$ **ділить** $x$ націло |
| **3** | $x + y \le 0$ |
| **4** | $x > y$ |
| **5** | $x \cdot x > y \cdot (-1)$ |

## Завдання

Зі своїм відношенням $R$ виконайте три завдання.

**Завдання 1 (області на цілих числах).**
Нехай множина $A$ — це **множина всіх цілих чисел** $\mathbb{Z}$. Для заданого
відношення визначте **область визначення** $D(R)$ та **область значень** $E(R)$.
Відповідь запишіть як множини й **обґрунтуйте**, чому саме такі елементи до них
входять (зокрема, чи є котрась із областей власною підмножиною $\mathbb{Z}$).

**Завдання 2 (скінченна множина: три записи, властивості, тип).**
Нехай тепер
$$
A = \{-5,\, -4,\, -3,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5\}.
$$
Для заданого відношення на цій множині:

1. запишіть його у **матричному вигляді** (булева матриця $11 \times 11$; рядки й
   стовпці впорядкуйте від $-5$ до $5$);
2. запишіть його у **графічному вигляді** (орієнтований граф із петлями, де
   потрібно);
3. запишіть його **переліком** упорядкованих пар;
4. визначте **характеристики (властивості)** відношення — рефлексивність,
   антирефлексивність, симетричність, антисиметричність, асиметричність,
   транзитивність (за потреби — антитранзитивність), підтверджуючи кожне «ні»
   контрприкладом;
5. визначте **тип** відношення (еквівалентності, часткового порядку, толерантності
   або жоден із них) і поясніть, за якими властивостями ви його встановили.

**Завдання 3 (функціональність).**
Визначте, чи є задане відношення **функціональним**, і **поясніть чому** (спираючись
на перелік пар, на матрицю або на орграф зі Завдання 2).

## Що і як здати

- Оформіть **письмове розв'язання всіх трьох завдань** для свого — і **лише
  свого** — варіанта; на початку вкажіть свій номер $N$ та обчислений варіант $V$.
- Матрицю подайте таблицею з підписаними рядками й стовпцями; орграф — рисунком
  (від руки або засобами редактора); перелік пар — у фігурних дужках.
- Кожну властивість супроводьте **обґрунтуванням**: «так» — міркуванням для всіх
  пар, «ні» — конкретною парою-свідком.
- Три записи одного відношення (матриця, граф, перелік) мають **узгоджуватися** між
  собою — це найпростіший спосіб самоперевірки.