# 6. Контрольні запитання

## Відношення та способи запису

1. Дайте означення **бінарного відношення** на множині $A$ через декартів добуток
   $A \times A$. Скільки різних відношень існує на множині з $n$ елементів і чому?
2. Опишіть **три способи запису** відношення — перелік пар, булеву матрицю, орграф.
   Як пара $(x, y)$ виглядає в кожному з них? Що таке **петля** в орграфі?
3. Як виглядають матриці **повного**, **порожнього** й **тотожнього** відношень?
   Чим тотожнє відношення особливе?
4. Запишіть відношення $R = \{(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)\}$ на множині
   $\{1, 2, 3\}$ у вигляді булевої матриці та орграфа.

## Область визначення та значень

5. Дайте означення **області визначення** $D(R)$ та **області значень** $E(R)$. Чи
   обов'язково вони збігаються з усією множиною $A$? Наведіть приклад відношення,
   у якому область значень — **власна** підмножина.

## Властивості

6. Сформулюйте означення **рефлексивності**, **симетричності**,
   **антисиметричності** та **транзитивності**. Для кожної скажіть, як вона
   виявляється **в матриці** й **в орграфі**.
7. Поясніть, чому **рефлексивність** і **антирефлексивність** — це не протилежні
   властивості. Наведіть відношення, яке не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним.
8. Поясніть, чому **антисиметричність** — це не те саме, що «несиметричність».
   Наведіть відношення, яке водночас симетричне й антисиметричне, і таке, що ні те,
   ні те.
9. Як пов'язана **асиметричність** з антирефлексивністю й антисиметричністю?
10. Що саме треба пред'явити, щоб **спростувати** транзитивність? Проілюструйте на
    відношенні $\{(1, 2), (2, 3)\}$ на множині $\{1, 2, 3\}$.
11. Чи є **порожнє** відношення на непорожній множині рефлексивним? симетричним?
    антисиметричним? транзитивним? Обґрунтуйте кожну відповідь.

## Типи відношень

12. Означте **відношення еквівалентності**, **часткового порядку** й
    **толерантності** через їхні властивості. Наведіть по одному побутовому прикладу.
13. Чому відношення еквівалентності породжує **розбиття** множини? Що таке **клас
    еквівалентності**?
14. Яка єдина властивість відрізняє відношення **еквівалентності** від відношення
    **толерантності**?

## Функціональність

15. Дайте означення **функціонального** відношення. Як воно виглядає в матриці та в
    орграфі? За якої додаткової умови функціональне відношення задає **функцію**
    $y = f(x)$ і **відображення** $f\colon A \to B$? Чим різняться **сюр'єктивне**,
    **ін'єктивне** та **бієктивне** відображення?