# 6. Контрольні запитання

## Правила лічби

1. Сформулюйте **правило суми** та **правило добутку**. Який сполучник — «і» чи
   «або» — сигналізує про кожне з них? Наведіть по одному власному прикладу.
2. Що таке **дерево вибору**? Як число листків дерева пов'язане з правилом добутку?
3. У задачі спершу розбивають умову на кілька несумісних випадків, а потім кожен
   випадок лічать за кроками. Яке правило застосовують на кожному етапі?

## Впорядкований вибір: перестановки та розміщення

4. Дайте означення **перестановки** та запишіть формулу $P_n$. Чому зручно вважати
   $0! = 1$? Обчисліть $P_5$.
5. Дайте означення **розміщення** $A_n^{k}$ і поясніть, чому у формулі
   $A_n^{k} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$ рівно $k$ спадних множників.
6. Чому перестановки є окремим випадком розміщень? Доведіть, що $A_n^{n} = P_n$.
7. Що таке **розміщення з повтореннями** (кортеж) і чому їх рівно $n^{k}$? Як це
   пов'язано з правилом добутку?

## Невпорядкований вибір: сполучення

8. Дайте означення **сполучення** $C_n^{k}$. Поясніть словами співвідношення
   $A_n^{k} = C_n^{k}\cdot k!$ — чому розміщень саме у $k!$ разів більше, ніж
   сполучень?
9. Доведіть симетрію $C_n^{k} = C_n^{\,n-k}$ і поясніть її змістовно (через вибір
   того, що **лишається**).

## Вибірки з повтореннями

10. Запишіть формулу **перестановок з повтореннями**. Скільки різних «слів» дає
    перестановка букв слова **МАТЕМАТИКА**? (Вкажіть кратності букв і формулу.)
11. Що лічить формула **сполучень з повтореннями** $\overline{C}_n^{k} = C_{n+k-1}^{k}$?
    Поясніть модель «зорі та риски» та її зв'язок із розкладанням однакових предметів
    по різних скриньках.

## Розпізнавання типу та застосування

12. Які **два запитання** визначають тип вибірки? Назвіть формулу в кожному з чотирьох
    можливих випадків (заповніть таблицю $2\times2$: порядок × повтори).
13. Поясніть, чому в задачі 6 блоку 1 (обрати капітана та його заступника) порядок
    **важливий**, а в задачі 9 блоку 3 (обрати двох на олімпіаду) — **ні**. Який тип
    вибірки в кожній?
14. Скільки трибуквених «слів» можна скласти з алфавіту на 8 букв (а) якщо букви
    можуть повторюватися; (б) якщо не можуть? Назвіть тип і формулу в кожному випадку.
15. Наведіть два приклади, де комбінаторний підрахунок виникає у **видавництві та
    поліграфії** (наприклад, кількість макетів за заданими наборами шрифтів і
    кольорів, число можливих кодів чи артикулів). Який тип вибірки відповідає кожному?