2. Методичні вказівки #

Цей розділ самодостатній: у ньому зібрано всю теорію, потрібну для теми — скінченні множини, їхні операції, діаграми Венна, закони алгебри множин і множина-ступінь, — разом із прийомами, якими розв’язують завдання з 3task.md. Наприкінці розібрано демонстраційний приклад доведення тотожності діаграмами Венна на даних, відмінних від будь-якого варіанта, — щоб показати метод, не розв’язуючи жодного варіанта. Зовнішні джерела не потрібні; ширше й з доведеннями ту саму теорію викладено в Лекції 1.

2.1 Множини та способи задання #

Множина — це невпорядкована сукупність різних об’єктів, які називають її елементами. Пишуть $x \in A$, якщо $x$ — елемент $A$, і $x \notin A$ інакше. Множину визначає лише те, які елементи вона містить, тож справджуються дві властивості:

• несуттєвість повторень — $\{1,2,2,3\} = \{1,2,3\}$;
• несуттєвість порядку — $\{1,2,3\} = \{3,1,2\}$.

Є два стандартні способи задати множину:

• переліком (списком) — елементи виписують у фігурних дужках: $A = \{1, 3, 5\}$;
• характеристичною властивістю (предикатом) — вказують умову $P(x)$, якій мають задовольняти елементи, майже завжди з областю $U$, з якої беруть $x$:

  $$A = \{\, x \in U \mid P(x) \,\} \qquad (\text{«усі } x \text{ з } U \text{, для яких } P(x)\text{»}).$$

Щоб перейти від властивості до переліку, перебирають кандидатів з області й лишають ті, що проходять перевірку умовою. Наприклад, $\{\, x \mid x \in \mathbb{N},\ x < 6,\ x \bmod 2 = 0 \,\}$: кандидати $1,2,3,4,5$; парними серед менших за $6$ є $2$ і $4$, тож множина дорівнює $\{2, 4\}$.

Корисні позначення: натуральні числа $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ (у цьому курсі без нуля), порожня множина $\varnothing = \{\,\}$, яка не має жодного елемента, і потужність $|A|$ — кількість різних елементів $A$ (зокрема $|\varnothing| = 0$).

Підмножина й рівність. Запис $A \subseteq B$ означає, що кожен елемент $A$ є й елементом $B$. Дві множини рівні, $A = B$, саме тоді, коли мають однакові елементи, тобто коли одночасно $A \subseteq B$ і $B \subseteq A$. Цей принцип «двох включень» — один зі способів довести тотожність (§2.6).

Універсальна множина. У багатьох задачах наперед фіксують множину $U$ всіх розглядуваних об’єктів — універсум. Саме відносно нього беруть доповнення (§2.2); на діаграмі універсум — це обмежувальний прямокутник.

2.2 Операції над множинами #

Нехай $A$ і $B$ — множини всередині універсуму $U$.

Два факти, якими користуються постійно:

• Доповнення відносне. $\overline{A}$ не має сенсу без універсуму; завжди спершу вказуйте $U$.
• Різниця напрямлена. Загалом $A \setminus B \ne B \setminus A$ (див. рисунок: заштриховано різні «серпики»). Множини з $A \cap B = \varnothing$ називають неперетинними.

Найкорисніший місток між операціями:

$$A \setminus B = A \cap \overline{B},$$

тобто «усе в $A$, чого немає в $B$» дорівнює «$A$ у перетині з доповненням $B$». Саме він переводить різницю в перетин і доповнення, на чому тримаються алгебраїчні доведення.

2.3 Діаграми Венна: області та штрихування #

Діаграма Венна зображує кожну множину колом усередині прямокутника $U$ так, щоб було показано всі можливі перетини. Для двох множин — чотири області; для трьох — вісім:

• Дві множини $A, B$: лише $A$ ($A \setminus B$), перетин ($A \cap B$), лише $B$ ($B \setminus A$) і поза обома ($\overline{A \cup B}$).
• Три множини $A, B, C$: три «пелюстки» лише-$A$, лише-$B$, лише-$C$; три попарні «лінзи» $A \cap B$, $A \cap C$, $B \cap C$; центральна область $A \cap B \cap C$ і зовнішня область.

Як заштрихувати вираз (зсередини назовні). Щоб зобразити область, яку задає формула, обчислюють її, як арифметичний вираз, — спершу найглибшу операцію:

1. на чернетці заштриховують кожен підвираз у дужках;
2. комбінують: об’єднання зафарбовує обидві області; перетин лишає лише спільну частину; різниця $X \setminus Y$ лишає частину $X$ поза $Y$; доповнення зафарбовує все поза областю.

Наприклад, щоб заштрихувати $A \setminus (B \cup C)$: спершу штрихують $B \cup C$ (обидва відповідні кола), а потім лишають тільки ту частину $A$, що опинилася поза заштрихованим.

Як прочитати формулу з діаграми. Заштриховану область називають найпростішою комбінацією кіл, що її дає, — наприклад, «частини $A$ і $B$, але не $C$» читаються як $(A \cup B) \setminus C$.

2.4 Закони алгебри множин #

Операції підпорядковані алгебраїчним законам. Вони дають змогу спрощувати вирази та перевіряти тотожності символьними перетвореннями, без рисунка.

Особливо важливі закони де Моргана (доповнення об’єднання/перетину змінює операцію на протилежну й доповнює частини) та закон різниці — разом вони роблять більшу частину роботи в доведеннях. З них випливають і корисні тотожності для різниці, як-от $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ та $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$.

2.5 Множина-ступінь #

Множина-ступінь $\mathcal{P}(A)$ — це множина всіх підмножин $A$, включно з порожньою множиною $\varnothing$ і самою $A$. Кожен елемент $A$ незалежно або входить, або не входить до конкретної підмножини, тож $n$-елементна множина має

$$|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$$

підмножин. Зокрема, для чотириелементної множини підмножин рівно $2^{4} = 16$.

Як виписати множину-ступінь без пропусків — за розміром. Підмножини перелічують групами за кількістю елементів: спершу $\varnothing$ (розмір $0$), потім усі одноелементні, далі всі двоелементні й так до самої $A$. Кількість підмножин розміру $k$ дорівнює числу сполучень $C_{n}^{k}$; для $n = 4$ це $1, 4, 6, 4, 1$, а їхня сума

$$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$$

слугує зручною самоперевіркою: якщо виписано не $16$ різних підмножин — десь пропуск або повтор.

Демонстраційний приклад (інші дані, ніж у варіантах). Випишемо $\mathcal{P}(A)$ для триелементної множини $A = \{p, q, r\}$. За розміром:

• розмір $0$: $\varnothing$ — $1$ підмножина;
• розмір $1$: $\{p\},\ \{q\},\ \{r\}$ — $3$ підмножини;
• розмір $2$: $\{p,q\},\ \{p,r\},\ \{q,r\}$ — $3$ підмножини;
• розмір $3$: $\{p,q,r\}$ — $1$ підмножина.

Разом $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^{3}$, як і має бути. Отже,

$$\mathcal{P}(\{p,q,r\}) = \big\{\, \varnothing,\ \{p\}, \{q\}, \{r\},\ \{p,q\}, \{p,r\}, \{q,r\},\ \{p,q,r\} \,\big\}.$$

У завданні 2 множина містить чотири елементи, тож діяти треба так само, але з рядком розмірів $1, 4, 6, 4, 1$ і $16$ підмножинами.

2.6 Як довести тотожність діаграмами Венна #

Щоб довести рівність двох теоретико-множинних виразів діаграмами Венна, виконують три кроки:

1. на одній діаграмі заштриховують область лівої частини рівності (зсередини назовні, §2.3);
2. на другій, такій самій, діаграмі заштриховують область правої частини;
3. якщо заштриховані області повністю збігаються, вирази задають одну множину, тобто рівність доведено; якщо ж знайдеться область, зафарбована лише на одній діаграмі, — рівність хибна (і діаграма одразу дає контрприклад).

Для виразів із трьома множинами беруть діаграму з трьох кіл (вісім областей); з двома — з двох кіл.

Демонстрація методу (на інших даних, ніж будь-який варіант). Доведемо дистрибутивний закон

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$$

Цієї рівності серед варіантів завдання 3 немає — вона слугує лише зразком оформлення.

Ліва частина $A \cup (B \cap C)$. Спершу штрихуємо $B \cap C$ — центральну «лінзу» кіл $B$ і $C$ (обидві її частини: усередині $A$ й поза ним). Потім об’єднуємо з усім колом $A$. Результат — усе коло $A$ разом із лінзою $B \cap C$:

Права частина $(A \cup B) \cap (A \cup C)$. Окремо штрихуємо $A \cup B$ (кола $A$ і $B$) та $A \cup C$ (кола $A$ і $C$), після чого лишаємо тільки спільну для них частину:

Порівнюємо крайні праві діаграми обох рядків: заштриховані області збігаються — це коло $A$ разом із лінзою $B \cap C$. Отже, $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$, що й треба було довести. $\blacksquare$

Так само оформлюють доведення свого варіанта: дві діаграми, підписані частини, однозначний висновок про збіг (чи розбіг) заштрихованих областей.

2.7 Робочий контрольний список #

• Множини записуйте в сталому порядку (наприклад, зростання), щоб рівні множини було легко порівнювати, хоча формально порядок і не має значення.
• Перед будь-яким доповненням випишіть універсум $U$.
• Для завдання-діаграми штрихуйте зсередини назовні й підписуйте кінцеву область.
• Для множини-ступеня перелічуйте підмножини за розміром і перевіряйте кількість числом $2^{|A|}$.
• Для переходу від властивості до переліку перетворіть умову на перевірку, застосовану до кожного кандидата з області, і зберіть ті, що її проходять.

Practical/Practical1/2method.md · 16.3 KB · updated 2026-08-04 14:30