6. Контрольні запитання #

Відношення та способи запису #

1. Дайте означення бінарного відношення на множині $A$ через декартів добуток $A \times A$. Скільки різних відношень існує на множині з $n$ елементів і чому?
2. Опишіть три способи запису відношення — перелік пар, булеву матрицю, орграф. Як пара $(x, y)$ виглядає в кожному з них? Що таке петля в орграфі?
3. Як виглядають матриці повного, порожнього й тотожнього відношень? Чим тотожнє відношення особливе?
4. Запишіть відношення $R = \{(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)\}$ на множині $\{1, 2, 3\}$ у вигляді булевої матриці та орграфа.

Область визначення та значень #

5. Дайте означення області визначення $D(R)$ та області значень $E(R)$. Чи обов’язково вони збігаються з усією множиною $A$? Наведіть приклад відношення, у якому область значень — власна підмножина.

Властивості #

6. Сформулюйте означення рефлексивності, симетричності, антисиметричності та транзитивності. Для кожної скажіть, як вона виявляється в матриці й в орграфі.
7. Поясніть, чому рефлексивність і антирефлексивність — це не протилежні властивості. Наведіть відношення, яке не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним.
8. Поясніть, чому антисиметричність — це не те саме, що «несиметричність». Наведіть відношення, яке водночас симетричне й антисиметричне, і таке, що ні те, ні те.
9. Як пов’язана асиметричність з антирефлексивністю й антисиметричністю?
10. Що саме треба пред’явити, щоб спростувати транзитивність? Проілюструйте на відношенні $\{(1, 2), (2, 3)\}$ на множині $\{1, 2, 3\}$.
11. Чи є порожнє відношення на непорожній множині рефлексивним? симетричним? антисиметричним? транзитивним? Обґрунтуйте кожну відповідь.

Типи відношень #

12. Означте відношення еквівалентності, часткового порядку й толерантності через їхні властивості. Наведіть по одному побутовому прикладу.
13. Чому відношення еквівалентності породжує розбиття множини? Що таке клас еквівалентності?
14. Яка єдина властивість відрізняє відношення еквівалентності від відношення толерантності?

Функціональність #

15. Дайте означення функціонального відношення. Як воно виглядає в матриці та в орграфі? За якої додаткової умови функціональне відношення задає функцію $y = f(x)$ і відображення $f\colon A \to B$? Чим різняться сюр’єктивне, ін’єктивне та бієктивне відображення?

Practical/Practical2/6questions.md · 4.1 KB · updated 2026-08-04 14:35