3. Завдання за варіантами #

Це індивідуальне домашнє завдання. Робота складається з трьох блоків; у кожному блоці — 10 варіантів однотипних задач. Розв’язків і відповідей тут не наведено — уся потрібна теорія та зразки методу є в 2method.md.

Як визначити варіант. Обчисліть $v = N \bmod 10 + 1$, де $N$ — ваш номер за списком у журналі, а $\bmod$ — остача від ділення. Наприклад, для $N = 7$ маємо $v = 7 \bmod 10 + 1 = 8$; для $N = 20$ — $v = 20 \bmod 10 + 1 = 1$. Номер варіанта $v$ однаковий для всіх трьох блоків: виконайте задачу № $v$ у кожному блоці — усього три задачі (якщо викладач не вказав інакше).

Що і як подавати #

Для кожної з трьох задач наведіть:

1. Тип вибірки — перестановка $P_n$, розміщення $A_n^{k}$ чи сполучення $C_n^{k}$ (окремо зазначте, з повтореннями чи без); якщо задача складена — які правила суми / добутку застосовано.
2. Формулу з підстановкою конкретних чисел вашого варіанта.
3. Обчислення. Дуже великі результати (наприклад, $17!$ чи $3^{13}$) дозволено лишати у вигляді факторіала або степеня — головне правильно записати формулу.
4. Коротке обґрунтування типу: чи важливий у цій задачі порядок і чи дозволені повтори (одне-два речення).

Оформлення — рукописно або в редакторі; кожну задачу починайте з її умови та номера варіанта.

Блок 1. Правило добутку та впорядковані вибірки #

Номер варіанта: $v = N \bmod 10 + 1$.

1. Скількома способами Діма зможе пофарбувати п’ять ялинок у сріблястий, зелений і синій кольори, якщо кількість фарби в нього необмежена, а кожну ялинку він фарбує лише в один колір?
2. Діма має п’ять кульок: червону, зелену, жовту, синю і золоту. Скількома способами він зможе прикрасити ними п’ять ялинок, якщо на кожну потрібно надіти рівно одну кульку?
3. Монету кидають тричі. Скільки різних послідовностей орлів і решок можна при цьому отримати?
4. Кожну клітинку квадратної таблиці $2 \times 2$ можна пофарбувати в чорний або білий колір. Скільки існує різних розфарбувань цієї таблиці?
5. Скількома способами можна заповнити одну картку в лотереї, де треба передбачити підсумок тринадцяти спортивних матчів? Підсумок кожного матчу — перемога однієї з команд або нічия; рахунок ролі не грає.
6. У футбольній команді (11 осіб) потрібно обрати капітана та його заступника. Скількома способами це можна зробити?
7. Скільки різних двоколірних прапорів із двох горизонтальних смуг однакової ширини можна зробити, якщо є матерія шести різних кольорів?
8. Ладдя стоїть на лівому полі картатої смужки $1 \times 30$ і за хід може зрушити на будь-яку кількість клітин праворуч. Скількома способами вона може дістатися до крайнього правого поля?
9. Номер автомашини складається з чотирьох букв алфавіту (використовується 12 букв) та чотирьох цифр. Скільки існує різних номерів машин?
10. Скількома способами можна по черзі витягти з урни 5 різнокольорових куль?

Блок 2. Перестановки та колові розміщення #

Номер варіанта: $v = N \bmod 10 + 1$.

1. Скільки існує трицифрових чисел, у записі яких цифри 1, 2, 3 трапляються рівно по одному разу?
2. У пасажирському поїзді 17 вагонів. Скількома способами можна розподілити по вагонах 17 провідників, якщо за кожним вагоном закріплюється один провідник?
3. Скількома способами можна розсадити 5 юнаків і 5 дівчат за круглим столом із 10 крісел так, щоб вони чергувалися?
4. Скількома способами можна побудувати замкнену ламану, вершинами якої є вершини правильного шестикутника (ламана може самоперетинатися)?
5. Сімнадцять дівчат водять хоровод. Скількома різними способами вони можуть стати в коло?
6. Скількома способами 28 учнів можуть вишикуватися в чергу до їдальні?
7. Скільки існує різних намист, складених із 17 різних намистин?
8. Числа $1, 2, 3, \dots, n$ (де $n$ — довільне натуральне число) записують у рядок у такому порядку, що якщо десь (не на першому місці) записано число $i$, то десь ліворуч від нього трапляється хоча б одне з чисел $i+1$ або $i-1$. Скількома способами це можна зробити?
9. Скількома способами може вишикуватися шеренга з 30 осіб?
10. На складі 9 коробок. Скількома способами можна вибудувати з них один ряд (лінію)?

Блок 3. Сполучення та розподіли #

Номер варіанта: $v = N \bmod 10 + 1$.

1. Скількома способами можна розбити 15 осіб на три команди по 5 осіб у кожній?
2. У поштовому відділенні продають листівки 10 видів. Скількома способами можна купити в ньому 12 листівок?
3. Скількома способами 4 чорні кулі, 4 білі кулі та 4 сині кулі можна розкласти в 6 різних ящиків?
4. При грі в преферанс кожному з трьох гравців роздають по 10 карток, а дві картки кладуть у прикуп. Скільки різних розкладів можливо в цій грі?
5. Скількома способами можна вибрати 4 фарби із 7 різних?
6. Рота складається з трьох офіцерів, шести сержантів і 60 рядових. Скількома способами можна виділити з них загін, що складається з одного офіцера, двох сержантів і 20 рядових?
7. Спортивний клуб налічує 30 членів, з яких треба виділити 4 особи для участі в забігу на 1000 метрів. Скількома способами це можна зробити?
8. З класу, у якому навчаються 28 осіб, призначають на чергування до їдальні 4 людей. Скількома способами це можна зробити?
9. З класу, у якому навчаються 30 осіб, потрібно вибрати двох школярів для участі в математичній олімпіаді. Скількома способами це можна зробити?
10. Людина має 6 друзів і протягом 5 днів запрошує до себе в гості якихось трьох із них так, щоб компанія жодного разу не повторювалася. Скількома способами вона може це зробити?

Practical/Practical5/3task.md · 9.4 KB · updated 2026-08-04 14:35